잔잔한 물결로 파도 만들기

위상 정렬은 방향 그래프(Directed Graph)에서 노드를 정렬하는 방법이다. u -> v 방향을 갖는 각 간선 (u, v)에 대해서, u가 v보다 앞에 오도록 정렬한다. 여러가지 작업이 주어지고, 특정 작업이 특정 작업보다 선행되어야 한다는 순서 조건이 달렸을 때, 전체 순서를 어떻게 전개해야할 것인가와 관련하여 탁월한 답을 내려준다. 이러한 특성 덕에, 위상 정렬은 프로젝트를 스케줄링할 때, 작업 우선순위 지정 등 다양한 분야에서 활용된다. 기본 개념 의존성(Dependency): A 작업이 B 작업에 의존한다는 것은, A 작업이 시작하기 전에 B 작업이 완료되어야 함을 의미한다. 진입차수(in-degree): 한 노드로 들어오는 간선의 수 진출차수(out-degree): 한 노드에서 나가는 간..

위와 같은 MST를 어떻게 자동적으로 찾을 수 있을까? 크루스칼 알고리즘과 프림 알고리즘은 MST를 찾는 대표적인 기법이다. 두 알고리즘의 시간복잡도와 공간복잡도는 다음과 같다. (V = 정점의 수, E = 간선의 수) Kruskal 알고리즘 Prim 알고리즘 시간복잡도 (간선 기반) O(E*log E) O(E*log V) 시간복잡도 (우선순위 큐 사용) - O(E + V*log V) 공간복잡도 O(E + V) O(E + V) Kruskal 알고리즘의 경우, 간선을 정렬하는 데 가장 많은 시간이 소요되므로 O(E*log E)의 시간복잡도를 갖는다. Prim 알고리즘은 각 정점마다 인접한 간선 중 가장 작은 가중치를 가진 간선을 선택하므로, 우선순위 큐를 사용할 경우 O(E + V*log V)의 시간복잡도..

Union-Find Union-Find는 Kruskal 알고리즘을 구현하기 위해 핵심적으로 알아야 할 자료구조이다. Disjoint Set(서로소 집합 자료구조)을 표현할 때 사용하는 자료구조이다. 서로소 집합은 공통 요소가 하나도 없는, 즉 교집합이 전혀 없는 서로 다른 부분집합들을 의미한다. 그리고 Union-Find는 이 Disjoint-Set을 구성하고 각 요소에 대한 조작, 검색을 수행하도록 설계된 개념이다. 구현 해당 자료구조는 언어 자체에 내장되어 있거나 그렇진 않고, 일반적으로 딕셔너리(트리 구조)로 구현한다. Key = 노드 Value = 해당 노드의 부모 노드 (* 루트 노드는 부모 노드로 자기 자신을 가리킨다.) 트리 구조의 부모-자식 관계를 이용하여 어떠한 부분집합의 개별 요소들을..

그래프와 트리의 개념을 배우고나면, 그 다음으로 딱 봐도 '실생활에서도 자주 응용되겠는데?' 싶은 개념이 등장한다. 바로 '신장 트리'와 여기서 파생되는 '최소 신장 트리' 개념이다. 신장 트리(Spanning Tree, ST) 신장 트리의 정의 그래프는 V(정점)와 E(간선)의 집합이다. 그리고 어떤 한 그래프에는 수많은 조합의 하위 그래프가 존재할 것이다. 이중에서 특별한 조건을 만족한 하위 그래프를 '신장 트리'라고 부른다. [신장 트리의 조건] 1. 주어진 연결 그래프의 모든 정점을 지나야 한다. 2. 동시에 트리여야 한다. 1) 사이클을 포함하지 않아야 한다. 2) V = E+1 이어야 한다. (V: 정점의 수, E: 간선의 수) 신장 트리(Spanning Tree)에서 '신장'은 원래 이름인 ..

앞서 실제 세계를 데이터 구조로 모델링하기 위해 그래프를 사용한다고 했는데, 실제 문제 해결까지 가기 위해서는 표현에 그칠 것이 아니라 다양한 방식의 활용법을 모색할 필요가 있다. 그 중 대표적으로 그래프 내의 정보를 효율적으로 탐색하는 탐색 기법이 빠질 수 없다. 그 중에서도 BFS(Breadth-First Search, 너비우선탐색)와 DFS(Depth-First Search, 깊이우선탐색)는 가장 기본적이면서도 널리 사용되는 탐색 알고리즘이다. BFS와 DFS는 그래프의 모든 노드를 방문하는 방법이지만, 방문 순서와 방식에는 큰 차이가 있다. 이 두 알고리즘은 다양한 심화 알고리즘의 핵심 아이디어 기반이 되기도 한다. 기업 코딩테스트에서도 단골로 출제되는 주제이니만큼 제대로 이해하는 것이 좋다. B..

그래프를 사용하는 이유 현실의 객체들은 언제나 다른 객체와의 연관성을 갖는다. 예를 들면, 사람과 사람은 혈연 학연 지연 등 다양한 기준으로 서로의 관계를 나타낼 수 있고, 도시와 도시는 위치와 거리를 기준으로 연결할 수 있다. 이처럼 그래프는 객체들 간의 이진 관계를 모델링하는데 사용되는 구조이다. [이진 관계 (Binary Relations)] 두 개의 요소 사이에 성립하는 관계. 집합 A와 집합 B에 대해, 이진 관계는 A의 요소와 B의 요소 사이에 존재하는 관계를 나타낸다. 이 관계는 주로 집합 A *B의 부분집합으로 표현되며, 이 부분집합의 각 원소는 순서쌍 (a,b)로 나타낼 수 있다. 예를 들어, 집합 A = {1,2,3}와 집합 B = {a,b}가 있다고 하면, 이진 관계의 예는 다음과 같..

이진 탐색 트리(Binary Search Tree, BST) 이진 탐색 트리는 이진 트리의 한 종류로, 효율적인 탐색이 가능하도록 노드를 배치한 형태이다. 1. 기본 개념 이진 탐색 트리의 모든 노드에는 다음 두 가지 조건이 재귀적으로 적용된다. 왼쪽 서브트리의 모든 노드의 Key는 자신의 Key보다 작고, 오른쪽 서브트리의 모든 노드의 Key는 자신의 Key보다 크다. 위 이미지를 보면, 어떠한 노드이든 자기자신을 기준으로 반을 나누면 왼쪽은 자신보다 Key 값이 작고, 오른쪽은 자신보다 Key 값이 크다. BST의 특성 이진 탐색 트리는 다음과 같은 특성이 있다. 데이터의 정렬된 순서를 유지하는 속성을 갖는다. BST의 최소값 -> 트리의 가장 왼쪽 값 BST의 최대값 -> 트리의 가장 오른쪽 값 ..

이진 트리(Binary Tree)는 트리 구조의 가장 기본적이고, 기초적인 모델로 간주된다. 특히 컴퓨터 과학에서 트리 구조를 처음 배울 때 이진 트리를 가장 먼저 다루는 이유는 대략 다음과 같다: 이진 트리는 각 노드가 최대 두 개의 자식만을 가질 수 있기 때문에 구조적으로 간단하다. 여러 트리 구조가 이진 트리로부터 파생되었기 때문에(ex: 이진 탐색 트리, 균형 이진 트리 등), 이들을 이해하기 위해 이진 트리에 대한 이해가 선행되어야 한다. 그러므로 이진 트리를 이해하는 시간을 갖고, 이진 트리를 활용하여 트리의 노드를 스캔하는 순회 방법(전위 순회, 중위 순회, 후위 순회)에 대해서도 알아보자. 이진 트리(Binary Tree, BT) 이진 트리는 모든 부모 노드가 왼쪽 자식과 오른쪽 자식만을 ..

트리(Tree)는 데이터들의 구조가 실제 나무와 비슷하다고 해서 붙여진 이름이다(나무를 거꾸로 뒤집은 모습). 맨 꼭대기 노드인 루트(root)에서 시작하여 가지(branch)와 같은 여러 경로를 통해 맨 아래의 리프(leaf) 노드로 뻗어 나가는 구조를 가지고 있다. 그림 봐도 알겠지만 앞서 배웠던 자료구조들과 다르게 linear 하다고 보기엔 어렵다. 따라서 트리는 비선형 자료구조로 분류된다. 수많은 천재들이 트리를 잘 활용하는 법을 알아내준 덕에 우리는 데이터 관리를 위한 매우 뛰어난 도구를 몇가지 얻게 되었다. 특히 트리 구조는 탐색 기법으로 응용될 때 더 빛을 발하는데, 예를 들어 이진 탐색 트리(Binary Search Tree, BST)나 몬테카를로 트리 탐색(Monte-Carlo tree ..

해시 테이블은 'Key: Value'의 쌍을 저장하는 구조로, 고유한 Key를 기반으로 빠르게 데이터를 검색할 수 있게 해주는 자료구조이다. 이론적으로는 해시 테이블에서 원소를 찾는 것이 연결 리스트에서 원소를 찾는 것(최악의 경우 O(n)의 수행시간을 가진다)만큼 오래 걸릴 수 있지만 실제로 해싱은 성능이 탁월하다. 합리적인 가정 하에서 해시 테이블에서 원소를 찾는 데 걸리는 평균 수행시간은 O(1)이다. (출처: Introduction to Algorithms) 해싱(Hashing)이라는 개념은 1930년대에 처음 사용되었으며, 데이터 저장 및 검색 분야에 큰 혁신을 가져왔다고 한다. 'Hash'라는 단어는 'hack'에서 유래되었는데, 원래 의미는 '잘게 자르다'이다. 데이터를 작은 부분으로 나누어..